Simetrias na Vida, no Universo e em Tudo o Mais

o Homem Vitruviano - Leonardo da Vinci

O que as nuvens, as pessoas que saem bem em fotos, a universalidade das leis da física e o Homem Vitruviano têm em comum?

Neste post quero falar um pouquinho sobre um dos tijolinhos básico da realidade, mas que também tem importância em diversos outros contextos, envolvendo desde questões biológicas até obras artísticas. Sim, estou falando de simetrias até por que o assunto do post tinha que ter alguma coisa a ver com o título .

Mas o que afinal são simetrias? A maioria das pessoas tem uma idéia intuitiva sobre isso. Elas sabem que tem algo a ver com dividir alguma coisa em duas metades iguais, como quando você traça uma linha em uma foto dividindo ao meio um rosto.  Notem que isso não funciona para qualquer direção. No caso do rosto humano a linha de simetria (essa que divide o rosto em duas metades quase iguais) é essa linha que atravessa verticalmente o rosto no meio.

simetria vulcana

De maneira mais geral, simetrias têm a ver com características que não são alteradas quando algum tipo de transformação é feita. No caso da foto, significa que se você traçar uma linha vertical no meio e substituir a metade da direita pela da esquerda invertida (imagem refletida/de espelho), ou vice e versa, a foto continua igual. Obviamente rostos humanos não são perfeitamente simétricos, e por isso a foto não ficaria exatamente igual. Além de reflexões, outro tipo de transformação que envolve um monte de simetrias são os giros. Por exemplo,  se você girar um quadrado como esse ali embaixo, para alguns ângulos (90⁰, 180⁰,...) ele permanecerá exatamente igual. A não ser por aquela bolinha azul,  não é possível saber se o quadrado girou ou não comparando o primeiro quadrado (antes do giro) com o último (depois de um giro de 90⁰).  

Mas ok, por enquanto estamos falando apenas de coisas visuais. O que não é um problema, afinal há muita coisa interessante nesse contexto. Por exemplo, esse artigo revisa uma série de estudos que associam simetria e atração física: indivíduos mais simétricos são geralmente considerados mais atraentes.  Outro exemplo, extremamente importante, bizarro e lindo, são os fractais. Fractais são basicamente estruturas que tem a mesma cara em diferentes escalas, ou seja, você não consegue distinguir entre a estrutura inteira, a metade dela, um terço dela...todas têm as mesmas propriedades. Essa característica é chamada de auto-similaridade em matemática. Exemplos de fractais na natureza incluem  nuvens e montanhas (mas é claro que nesses casos temos que desconsiderar escalas muito pequenas). 

Fractais

Além disso, os fractais já deram suas caras nas artes também. O documentário "The Code" ( escrevi esse post sobre ele) comenta como o artista Jackson Pollock produzia pinturas fractais (não que ele soubesse o que era isso) usando técnicas de pintura que envolviam gotejamento de tinta.

Pintura por gotejamento - Jackson Pollock

  Mas simetrias são muito mais do que um rostinho bonito, elas também estão por trás das leis mais básicas da universo e, portanto, da nossa existência. Você provavelmente já ouviu a expressão "toda a ação tem uma reação". Essa é a segunda lei de Newton e envolve uma lei de conservação. Ela diz que se não houverem forças agindo sobre um objeto, a quantidade de movimento desse objeto se conserva, ou seja, se ele estiver se movendo, continuará se movendo (com a mesma velocidade), e se estiver parado, continuará parado.  Por incrível que pareça, essa lei de conservação está associada a uma simetria fundamental: a simetria das translações espaciais, que  basicamente dizem que as leis físicas experimentadas por um objeto não se alteram quando ele se move no espaço (sem aceleração). A conservação de quantidade de movimento nada mais é do que uma consequência dessa simetria. Outra conservação importante é a conservação de energia. Embora a energia possa se transformar, ela nunca desaparece (note, por exemplo, como a bateria do seu celular esquenta de vez em quando, isso por que uma parte da energia que deveria ser usada para o funcionamento do celular, acaba sendo convertida em calor, que é outro tipo de energia). A conservação de energia também está relacionada a uma simetria fundamental: a simetria das translações temporais, que significa que as leis da física não se alteram com o tempo.  Essas são algumas das simetrias fundamentais, e hoje em dia sabemos, graças aos trabalhos da brilhante matemática Emmy Noether (não graças a sociedade machista da época), que para cada simetria fundamental existe uma lei de conservação associada. Notem que falei em simetrias aqui de uma maneira extremamente qualitativa. Mas o que a Emmy fez foi na verdade provar um teorema. O método que usamos para saber a que lei de conservação uma simetria está relacionada é aplicar a simetria a uma determinada equação diferencial (que é um tipo de equação extremamente útil para descrever sistemas que envolvem algum tipo de variação) e verificar que quantidade permanece constante quando fazemos isso. A propósito, são essas invariantes, essas regularidades que encontramos na natureza, que permitem a nossa existência.

Então, dá próxima vez que você olhar para uma nuvem, não tente enxergar apenas um rosto, animal ou formato qualquer, lembre que ela é um ótimo exemplo de fractal, que é uma estrutura matemática suuper badass, além de ser  uma manifestação de uma propriedade que está por toda a parte na natureza e sem a qual você não existiria. :)