Mas por que aprender isso?

Por que eu nunca vou poder ser um professor de matemática:

aluno: Professor! Será que a gente vai usar essa álgebra algum dia?

professor: Você não. Mas talvez uma das crianças espertas use.

Mas afinal, onde eu vou usar isso na vida? Depois de assistir um vídeo do porta dos fundos refletir muito, resolvi escrever um post sobre uma das perguntas mais annoying  frequentes em toda a história da humanidade (pelo menos do ponto de vista de um professor XD ). Muita gente sai do colégio com a sensação que passou anos aprendendo um monte de coisas que não tem nenhuma, ou muito pouca utilidade na vida.  Afinal, será que aprender báscara é útil para alguém que pretende fazer medicina? E aquelas aulas de física que muita gente acha entediante?  Por que alguém que quer ir para alguma área das humanas precisa passar por isso? E biologia, química, geografia, história? Será que todo mundo precisa mesmo aprender tudo isso?

Bom, nessa discussão acho que é importante se dar conta que a utilidade de aprender algo tem diferentes níveis. O mais básico tem a ver com você precisar usar aquele conhecimento diretamente na sua vida, como por exemplo aprender a ler e a escrever: você lê e escreve o tempo todo, independente da sua área. Num nível um pouco mais acima,  aprender um pouquinho sobre diferentes áreas te ajuda a ter uma visão menos alienada sobre o mundo em que você vive e te dá algumas ferramentas básicas que te permitem escolher mais conscientemente pra que lado você quer ir na vida. Existe ainda um outro nível, que tem a ver com as capacidades que você desenvolve quando aprende algo, mesmo que não use aquilo diretamente na sua vida.

 Vamos então ao primeiro nível, aquele em que você usa diretamente o que você aprendeu. Muita gente acha que a maior parte do que aprendemos no colégio não entra aqui, mas isso não é necessariamente verdade. Um dos problemas é que as pessoas normalmente não aprendem suficientemente bem os conteúdos a ponto de conseguir usá-los diretamente no seu dia-a-dia. E se você não aprende a usar certas ferramentas, talvez você ache que não precisa delas e acabe encontrando maneiras bem menos eficientes de fazer o que elas fariam por você.

- Não, obrigada!

- Nós estamos muito ocupados.

Um dos exemplos que mais me salta aos olhos são conhecimentos básicos de matemática, como regra de 3, probabilidade, saber ler e construir gráficos. Já cansei de ler artigos de determinadas áreas, em que as pessoas colocam os dados obtidos na pesquisa em tabelas enormes, ao invés de usar gráficos, que poderiam facilitar bastante a interpretação dos dados. Mas há também muitos exemplos mais cotidianos. As pessoas não sabem fazer contas com frações, não conseguem saber se um produto é proporcionalmente mais caro do que outro quando as quantidades são diferentes (e muitos comerciantes tiram proveito disso, dizem que na compra de uma quantidade maior de determinado produto o preço diminui, quando na verdade uma simples regra de 3 mostraria que ele aumenta). 

Outro ponto importante (e não vou nem entrar na questão de certos conhecimentos em física serem importantes pra evitar alguns acidentes) é o problema da propagação de pseudociências, que ganha muita força com a ignorância da população inclusive em conhecimentos básicos de ciência. Os shampoos de íons ou DNA vegetal (íons são apenas átomos que perderam ou ganharam elétrons em reações, e DNA vegetal só significa que colocaram alguma planta no shampoo), a meditação quântica (ou pensamento quântico, vibrações, energia que a pessoa emana), colchões magnéticos e a tal da síndrome da escassez magnética (sim, descobri que vendedores de colchões magnéticos propagam essa besteira), a crença de que a terra é plana, homeopatia, antivacinação (e aqui, conhecimentos básicos de estatística ajudariam), etc.  É claro que alguns dos casos envolvendo pseudociências  podem não se tratar de desconhecimento puro e simples. Às vezes são preferências baseadas em diferentes tipos de crenças, influenciadas pelas visões de mundo das pessoas, que geralmente têm um papel importante na maneira como elas enxergam uma série de coisas (por isso que se chamam "visões de mundo" e não "visões de < alguma coisa super específica >" :-p).  Mas ok, não pretendo entrar muito nessa questão aqui, porque não é o objetivo deste post e esse tema é bem complexo, acho inclusive que todo mundo sem excessão é afetado em algum nível por isso (e infelizmente alguns desses níveis são bastante prejudiciais para a sociedade).

Bom, como comentei, esses problemas estão relacionados ao primeiro nível de utilidade de um conhecimento, aquele em que você usa diretamente o que aprendeu. Mas é interessante notar que eles não se resumem a esse nível. Quando você não aprendeu coisas básicas sobre como o mundo funciona, você se torna uma presa muito mais fácil de idéias distorcidas da realidade, inclusive charlatanismo.  Além disso, eu arriscaria dizer que a chance de você viver numa bolha é maior. Você não conhece o universo de possibilidade que existem por aí. Você não conhece o passado, não faz idéia como funciona toda a tecnologia que você usa, ou como o seu corpo funciona. Fico chocada com as noções distorcidas que as pessoas tem de matemática, por exemplo, e do que se pode fazer com ela. A maioria das pessoas acha que matemática se limita a fazer contas com números, sendo que toda a tecnologia que temos vem de princípios matemáticos. Agora imagina se as pessoas fossem direcionadas desde cedo para áreas específicas, não aprendendo conhecimentos mais gerais? E se as pessoas quisessem mudar de área em algum ponto? Além de isso dificultar bastante a migração de pessoas entre diferentes áreas, dificultaria também (ainda mais) a comunicação entre essas áreas e as pesquisas interdisciplinares (escrevi sobre interdisciplinaridade nesse post).

Além desse nível, a questão das capacidades que você desenvolve durante o aprendizado é extremamente importante. O raciocínio objetivo e lógico que você exercita quando está aprendendo matemática e física, por exemplo, poderia ser extremamente útil em outras áreas, e é uma pena que as pessoas usem isso tão pouco. Já vi tantas regras, em diversos contextos, que massacram o pensamento lógico num nível que dói no fundinho da alma. Outro problema que surge por causa da falta de raciocínio lógico são as famosas falácias, que são basicamente argumentos baseados em erros lógicos, e são tão frequentes que existe toda uma classificação, separando em categorias as falácias usadas em discussões, mas esse assunto fica para um próximo post.

Para finalizar esse post, quero responder mais diretamente uma das perguntas que fiz lá no início contando um causo. Afinal, por que alguém que pretende fazer medicina precisa aprender báscara?

Uma das coisas que aprendemos em alguns cursos de graduação das exatas é o Cálculo Diferencial e Integral (e para aprender isso você precisa ter aprendido funções, incluindo como resolver báscara, no colégio). O Cálculo foi descoberto por Newton e Leibniz, independentemente, no século 17, e é extremamente útil para trocentas mil coisas. A maior parte dos modelos matemáticos que usamos para descrever comportamentos e fenômenos em geral envolve coisas que aprendemos nessa área. No cálculo diferencial basicamente descrevemos variações infinitamente pequenas de coisas (como a velocidade instantânea, por exemplo). E no cálculo integral somamos essas variações, então podemos, por exemplo, saber qual é a área embaixo de uma curva em um gráfico. Infelizmente esse tipo de coisa não é ensinado em cursos de medicina, por exemplo. Mas afinal, por que alguém da medicina precisaria de cálculo?? Bom, em 1994 uma pesquisadora de medicina publicou um artigo em que ela descreve um método que ela desenvolveu pra calcular a área embaixo de certas curvas metabólicas. O método que ela "inventou" (que inclusive levou o nome dela) foi basicamente uma versão rudimentar do cálculo (descoberto há séculos atrás!). Como eu disse antes, se você não aprende a usar certas ferramentas, talvez você ache que não precisa delas e acabe encontrando maneiras bem menos eficientes de fazer o que elas fariam por você. Dito isso, parabéns pra ela por ter tido essa idéia.

Um último comentário que acho importante colocar aqui, é que não acho que o currículo e a maneira como os conteúdos são ensinados no colégio sejam perfeitos. O ensino básico no Brasil tem um monte de defeitos (inclusive a falta de apoio, em todos os níveis, aos professores). Parte desses problemas talvez venha inclusive da era industrial, em que o foco era gerar trabalhadores de "linha de montagem". Mas isso não significa que os conhecimentos que você aprende no colégio são inúteis. 

Geometria, Buracos Negros, a Tardis e o Título do Blog - 10 anos de Blog

Há mais ou menos 10 anos atrás eu escrevia a primeira postagem desse blog: uma poesia bastante pessoal que acabei apagando um tempo depois (isso explica por que a primeira postagem oficial do blog, que também é uma poesia, se chama "mais uma").  Nessa mesma época, escolhi o título que mais parece um texto, por que eu quase não sou prolixa para o blog: a vida é uma caixinha de surpresas que não obedece a geometria euclidiana. Agora, depois de 10 anos, me dei conta de que nunca me dei ao trabalho de escrever um post sobre esse título. Então acho que já está mais do que na hora. :)

Bom, pra quem passou muito tempo sem acesso à civilização humana e não sabe, naquela época um grupo de comediantes, os Melhores do Mundo, ficou muito conhecido por um "discurso motivacional" que eles faziam, contando sobre a vida de Joseph Climber, um personagem fictício nada afortunado, digamos assim (você pode assistir aqui).

Uma das frases desse show que ficou mais famosa foi "a vida é uma caixinha de surpresas", geralmente dita antes de algum desastre acontecer com o Joseph.

Esse vídeo me fez rir até doer pelo menos umas 100 vezes pensar bastante sobre como a vida é tão cheia de surpresas que se ela fosse uma caixinha provavelmente seria muiiiito maior por dentro. Então se você pudesse olhar ela por fora, pensaria que a quantidade de coisas ali dentro seria bem menor do que de fato é, e por isso a vida te surprenderia (positiva ou negativamente) tantas vezes, mesmo quando você achasse que já esgotou todas as possibilidades. E é aí que entra a geometria e a história fica interessante.

Tesserato

A geometria é aquela área da matemática que trata de formas, tamanhos e distâncias no espaço. Diversos conceitos básicos de geometria já eram conhecidos desde a época dos antigos egípcios, por causa da necessidade de medir as terras, já que as cheias do Nilo destruiam as delimitações entre essas  propriedades.  Mas lá pelo século III a.C  aconteceu algo muito importante nessa área. Um matemático chamado Euclides organizou o conhecimento em geometria desenvolvido até então e propôs um sistema com 5 axiomas que seriam a base da geometria. Aqui acho que é importante lembrar que axiomas nada mais são do que componentes de uma definição. Por exemplo, uma brasileira pode ser definida pelos seguintes axiomas:

• Uma brasileira é um ser humano
• Uma brasileira é uma mulher
• Um brasileira é alguém nascido no Brasil ou naturalizado brasileiro

Euclides fez algo parecido com a geometria. Propôs 5 axiomas, ou postulados, a partir dos quais seria possível obter tudo o que se sabia nessa área. A geometria que surge desses postulados é uma geometria plana, em que não há volumes. O quinto desses postulados é aquele que diz que duas retas paralelas nunca se encontram (só no infinito). Esse quinto postulado incomodou matemáticos por muitos séculos. O que eles achavam era que esse postulado pudesse decorrer dos outros quatro, e nesse caso ele não seria parte da definição, apenas uma consequência, e por tanto seria redundante manter ele na posição de postulado. Só que eles não conseguiam provar isso de jeito nenhum. Notem que na definição de brasileira que coloquei ali em cima acontece algo assim. O axioma "Uma brasileira é um ser humano" é desnecessário já que o segundo postulado diz que uma brasileira é uma mulher, e até onde sabemos uma mulher é necessariamente um ser humano. Já no caso do quinto postulado de Euclides não foi bem assim. No século XIX alguns cientistas, incluindo Gauss, e depois Riemann (aluno de Gauss) desenvolveram as geometrias não euclidianas, que surgem quando o quinto postulado não é levado em conta (o que significa que ele faz diferença sim, não decorre dos outros postulados). Nesse caso a geometria deixa de ser plana e passa a ser possível descrever fenômenos como a gravidade, que é uma curvatura do espaço-tempo.

-Não é verdade. Linhas paralelas se encontram sim. Inclusive, Pedro, estou grávida.

Ok, mas e o que isso tem a ver com a tal da caixinha maior por dentro do que por fora? Bom, com as geometrias curvas surgem possibilidades muito interessantes, inclusive a gravidade, como mencionei. Entre essas possibilidades surgem os objetos maiores "por dentro do que por fora". Um exemplo real desses objetos são buracos negros.

 Um buraco negro é o estágio final de uma estrela super massiva, que por não ter mais como produzir energia suficiente, no seu interior, para compensar o peso da sua matéria, acaba colapsando em um objeto menor com uma gravidade tão intensa que nem a luz consegue escapar. Como eu comentei antes, a gravidade é consequência da curvatura do espaço tempo, então efeitos gravitacionais intensos significam deformações maiores no espaço e no tempo. Pra entender essas deformações imagine que mapeamos o espaço e o tempo em quatro eixos, 3 de espaço e um de tempo.

exemplo com 2 dimensões de espaço

O que acontece ao redor de objetos massivos é que o eixo de tempo se inclina em direção a eles. Quanto mais perto do objeto maior é o efeito, e mais devagar passa o tempo (e é por isso que somos puxados em direção à terra,  analogamente ao que acontece quando uma das rodas dianteiras de um carro anda mais devagar que a outra, fazendo ele girar em torno daquela roda).  No caso do buraco negro esses efeitos são tão intensos que no seu interior, do ponto de vista de quem está do lado de fora, o que era dimensão de tempo passa a ser de espaço enquanto que uma das dimensões de espaço passa a ser a dimensão de tempo. Nesse caso o volume dentro de um buraco negro é infinito (uma das dimensões de espaço ocupa todo o eixo que era de tempo fora do buraco negro, com o passado, presente e futuro), enquanto do lado de fora ele é um "esferóide" de tamanho finito. Ou seja, finito por fora e infinito por dentro.

Esse é um exemplo bem extremo. Poderíamos pensar em efeitos gravitacionais menos drásticos. Mas existem outras possibilidade conceituais de objetos maiores por dentro do que por fora que são bem interessantes também, como é o caso da Tardis, a famosa nave do Dr. Who. No caso dela, o que acontece é que no seu interior é possível acessar outras dimensões (o número de dimensões acessadas no interior seria maior do que do lado de fora de modo que a área superficial de dentro seria maior do que a de fora e você teria acesso a fatias tridimensionais desse espaço). Esse vídeo do Because of Science dá uma explicada rápida na idéia (na segunda metade do vídeo) de um jeito bem didático, com direito a desenho:

 

Voltando então à questão do surgimento do blog, a minha idéia era explorar algumas das surpresas contidas nessa caixinha bem maior por dentro do que por fora, que é a vida, de um ponto de vista um tanto quanto nerd. E aqui estamos nós, 10 anos e 5 postagens depois  :-p.  Allons-y!

Interdisciplinaridade na Pesquisa Científica

Interdiciplinaridade: você está fazendo isso errado...

Faz bastante tempo que quero escrever um post sobre interdisciplinaridade. Mas minha mente sempre acaba vagando sobre as diversas razões pelas quais essa abordagem é tão útil e em qual delas eu deveria me focar mais. Nesse caso, como em vários outros, achei que seria interessante começar pelas raízes históricas, e claro, o conceito de interdisciplinaridade.

Bom, interdisciplinaridade tem a ver com combinar diferentes áreas do conhecimento a fim de entender/estudar/modelar alguma coisa. É claro que esse termo só faz sentido num contexto em que o conhecimento é dividido em diversas áreas e subáreas. Essa divisão  é necessária quando o conhecimento se torna tão vasto que o jeito mais eficiente para seres vivos de curta duração (menos de 100 anos) e capacidade mental limitada lidarem com ele é dividí-lo em partes menores e repartir essas partes entre as pessoas.

 Conforme o cohecimento cresce ainda mais, essas partes são divididas em outras partes menores ainda,  que por sua vez são divididas ainda mais, e assim surge o especialista em unha encrevada do mindinho do pé direito. Brincadeiras a parte, especialistas acabam vindo muito a calhar quando o conhecimento é muito vasto e a nossa capacidade de armazenamento e processamento de informação é limitada. Então nesse caso a estratégia "dividir e conquistar" faz todo o sentido.

Mas nem tudo são flores.  Essa abordagem tem uma série de efeitos colaterais que vem do fato de que essas divisões que impomos no conhecimento são um tanto quanto artificiais. Mas como assim artificiais? Bom, antigamente (tipo épocas dos filósofos gregos da Grécia antiga) o conhecimento era como uma grande caixa com poucas subdivisões. Uma boa parte dessa caixa era conhecida como filosofia, que abrangia desde conhecimentos muito básicos de física, química e matemática, até religião, política,  etc. O conhecimento a respeito de diversas coisas na natureza era desenvolvido por engenharia reversa (tão rudimentar que frequentemente ficava só na adivinhação), que é quando você tenta entender os princípios por trás do funcionamento de algo observando esse algo em funcionamento. Muitos conhecimentos em ciência foram obtidos desse jeito. Newton, por exemplo, desenvolveu uma área super importante da matemática (o cálculo diferencial) por perceber que era uma peça importante que faltava para descrever certos comportamentos relacionados aos movimentos, em física. Esses comportamentos estão por toda parte ao nosso redor e o que ele fez foi basicamente identificar os princípios por trás deles e descrevê-los matematicamente. Essa foi uma das descobertas mais impressionantes de todos os tempos por ser extremamente necessária para descrevermos uma infinidade de comportamentos. Note que quando você observa um objeto, fenômeno, alguma coisa na natureza, essa coisa tem diferentes aspectos. O jeito mais natural de estudar esse problema seria focar nele e em que métodos e coisas eu precisaria aprender para entender como ele funciona ou seja lá qual for o objetivo. Uma outra abordagem seria dividir diferentes aspectos desse problema em diferentes áreas. Então diferentes pessoas desenvolvem muito conhecimento em cada uma dessas áreas e cada grupo estuda esse objeto sob uma perspectiva específica (é claro que diferentes áreas do conhecimento não necessariamente estudam o mesmo fenômeno ou seja lá o que for, mas esse exemplo ilustra bem o ponto que quero fazer, além de ser real em alguns casos). Hoje em dia essa segunda abordagem é bem mais comum. Isso porque, como falei, o conhecimento é bastante vasto e não é viável saber tudo sobre tudo. Consequentemente o que acontece é que quando um especialista olha para um problema, ele tem uma tendência a analisar esse problema sob uma perspectiva moldada dentro da área dele, utilizando as ferramentas que ele aprendeu, o que muitas vezes é suficiente para os propósitos dele. Um pintor, por exemplo, não necessariamente precisa entender todos os processos neurais e físicos envolvidos na nossa percepção de cor para fazer um quadro bem feito (embora Leonardo da Vinci talvez discordasse, já que ele desenvolveu não apenas seu conhecimento em matemática, mas também em anatomia e outras áreas com o objetivo de aperfeiçoar suas obras, mas isso fica para um outro post). Só que é preciso manter em mente que essa separação é só uma aproximação da realidade: você descarta coisas que não são essenciais e foca no que parece mais relevante para os seus objetivos.  Mas essa abordagem nem sempre é suficiente. É o caso da primeira figura que coloquei lá em cima, com os cegos tateando um elefante. Se esses cegos não se comunicam, é muito difícil chegar a uma idéia realista do que é um elefante. E é aí que entra a interdisciplinaridade.

interdisciplinaridade

 A interdisciplinaridade é basicamente uma forma de reestabelecer a comunicação entre diferentes aspectos de um objeto de estudo. Mas mais do que isso, é uma forma de enriquecer a pesquisa combinando métodos e técnicas de diferentes áreas. Aqui entra também a questão da importância da diversidade na pesquisa. Grupos de pessoas com backgrounds diferentes têm um potencial maior para desenvolver soluções mais criativas.

 Eu poderia ficar mais um tempão aqui desdobrando cada aspecto interessante que surge nessa discussão, mas acho que por hoje já divaguei o bastante. Só quero deixar por último esse pensamento: em pesquisa científica nós estamos frequentemente tateando na natureza em busca de respostas, como os cegos com o elefante. Então,  pode ser útil levar em conta outras perspectivas. :) 

A Filosofia e a Matemática

 Vou ter que ser sincera com vocês, esse post é na verdade uma desculpa pra postar o vídeo da música que a minha querida irmã gêmea, Aline Lütz, compôs e gravou, sobre filosofia e matemática... \o/

Maaaas, esse vídeo nos dá uma excelente oportunidade para discutir umas questões que considero bem importantes, mencionadas na letra da música. A Aline escreveu essa música com base nesse conto, escrito pelo excelentíssimo senhor meu pai, Eduardo Lütz. A idéia foi criar uma analogia para explicar os fundamentos da filosofia e da matemática, aproveitando para questionar o modo como muita gente enxerga essas coisas. O conto original basicamente retrata a origem do método científico e de uma série de filosofias (dica: Natan representa um físico famoso, e Dórian um biológo famoso XD ). Na analogia, Filosofia é o nome de uma espécie de vilarejo. As pessoas que moram ali, acreditam que não existe nada além de Filosofia. Assim, todos os fenômenos observados ali dentro são considerados parte da Filosofia. Um desses fenômenos é a presença de água em poços que foram cavados em algum momento, muito antes da civilização atual. Essa água é chamada de matemática, mas na confusão os poços acabam recebendo o mesmo nome, matemática. Além disso, eles acreditam que os poços e a utilidade da água, a matemática, são bem limitados a certos contextos. A necessidade de beber água, por exemplo, é bem concreta, é fácil perceber a sua utilidade nesse contexto. Mas não dá pra ir muito além disso,  na opinião deles. Afinal, os poços com água são um pedacinho da Filosofia, sua utilidade deve ser limitada. No entanto, nesse vilarejo existem algumas pessoas, chamadas de exploradores, que procuram investigar a natureza da água,  qual o seu papel na manutenção da Filosofia e os limites dos poços. Esses exploradores descobrem que a água, na verdade, é o que sustenta todo o vilarejo, e que a Filosofia é apenas um vilarejo em uma barca minúscula dentro de um oceano infinito, a matemática.

 O problema é que a maior parte
das pessoas não entende em que consiste o trabalho dos exploradores. Não apenas acham que é uma perda de tempo e recursos, mas também acham absurda a idéia de que aqueles "poços com água" sejam infinitos e sustentem não apenas a Filosofia, mas infinitas outras barcas. É claro que eles não entenderam que os poços e a água são coisas diferentes. Mas essa às vezes parece ser uma barreira quase intransponível nas discussões.

Como eu mencionei antes, o conto vai mais longe do que a música e entra em uma série de outras correntes filosóficas que surgiram ao longo da evolução do conhecimento. Mas vamos nos focar na questão da filosofia e da matemática. A analogia tem a ver com uma série de questões, por exemplo, como muita gente define matemática: um tipo de linguagem. Na verdade as diferentes linguagens matemáticas, que usamos para descrever coisas, seriam equivalentes aos poços na analogia (no conto, os poços acabam abrangendo outras coisas também). Matemática então seria o que está por trás disso: características da realidade que podem ser obtidas por qualquer um com capacidade de raciocínio e experiência apropriada (ser humano ou não)  usando uma linguagem matemática qualquer. Para muita gente, porém, essa diferenciação não faz sentido, matemática é apenas outra invenção da mente humana. Nesse contexto, a filosofia passa a ser a base de tudo, é o modo como organizamos o conhecimento, e para nós humanos isso é tudo o que importa. Notem que nesse ponto a pessoa já criou toda uma estrutura mental em camadas na maneira de entender as coisas. O que eu quero dizer com isso é que as pessoas armazenam mentalmente diversas idéias sobre a realidade, e essas idéias vão formando camadas de dependência (a idéia de que a filosofia é mais geral do que a matemática, por exemplo, é uma consequência da idéia de que a matemática é uma invenção da mente humana, então a primeira estaria uma camada acima da segunda). Por isso discussões sobre esses assuntos costumam ser complicadas. Às vezes, escolhemos um tópico qualquer pra discutir, mas as camadas anteriores a esse tópico não são as mesmas para todo mundo (especialmente pessoas de áreas diferentes, com diferentes experiências). Esse quadrinho que coloquei num poste anterior ilustra bem isso:

Mas um ponto importante nessa discussão toda é que para muita coisa nessa vida, não precisamos ficar especulando filosoficamente sobre coisas. Diferentes argumentos têm diferentes consequências práticas. Embora muitas vezes essas consequências não sejam óbvias para todo mundo, elas não apenas existem, como inviabilizam uma série de argumentos.  Um exemplo clássico é um questionamento sobre o fato de todos os elétrons serem iguais, afinal, "você já viu todos os elétrons para saber se eles são iguais?". O problema é que se os elétrons não fossem indistinguíveis, os efeitos sobre a realidade seriam catastróficos, a começar pela química por exemplo. Se os elétrons não fossem iguais, poderiam ocupar o mesmo estado ao mesmo tempo (Princípio da Exclusão de Pauli) e elementos químicos seriam inviáveis.  Assim como nesse caso, muitos das afirmações que são feitas por aí sobre matemática não fazem sentido de um ponto de vista prático, embora as consequências sejam menos óbvias para a maioria das pessoas. E o debate continua, as always. :)

Reducionismo e Fenômenos Emergentes

Sociólogos:
Psicólogos: - sociologia é apenas psicologia aplicada
Biólogos: - psicologia é apenas biologia aplicada
Químicos: - biologia é apenas química aplicada
Físicos: - que é apenas física aplicada. É bom estar no topo... 
Matemáticos: - ah, oi gente, eu não vi que vocês tavam por aí

Nessa postagem quero falar um pouquinho sobre um tipo de abordagem que usamos o tempo inteiro em física, extremamente útil e que nem sempre  recebe o crédito merecido, o reducionismo.  De modo geral, o reducionismo é uma abordagem do tipo "Dividir e Conquistar". A idéia é que podemos pegar um problema complexo e dividir em problemas mais básicos e mais fáceis de resolver. Existem muitas maneiras de aplicar esse método, algumas delas tão inúteis que só servem de saco de pancada em textos de filosofia da ciência com um pézinho (e provavelmente o resto do corpo também) em abordagens holistas. Mas pera aí, o que é uma abordagem holista, e por que muita gente acha que ela tão melhor do que o reducionismo? Bom, holismo é basicamente o gêmeo mau do reducionismo (ou o gêmeo bom, dependendo do ponto de vista).

Se no reducionismo procuramos descrever um sistema a partir de propriedades mais elementares, no holismo consideramos propriedades do sistema como um todo, sem levar explicitamente em conta os elementos constituintes. Felizmente não precisamos ficar especulando sobre qual abordagem é melhor, podemos olhar exemplos reais de boas aplicações desses métodos. Nesse contexto, um dos melhores exemplos que conheço é o caso da Termodinâmica e da Mecânica Estatística. Esse exemplo é perfeito pra essa discussão justamente por que essas duas áreas da física usam abordagens diferentes para estudar a mesma coisa (grosso modo). Na termodinâmica, utilizamos uma abordagem holista. Consideramos propriedades globais do sistema,  como temperatura, pressão, entropia, etc, e como essas propriedades variam através de diferentes processos. Notem que essas propriedades são estudadas sem levar em conta explicitamente o comportamento das partículas que formam o sistema. No caso da mecânica estatística, esses comportamentos são levados explicitamente em conta através de teoria de probabilidades. Nesse caso, a abordagem utilizada é reducionista, e a temperatura, por exemplo, é uma propriedade emergente que surge como consequência de certos comportamentos das partículas. Aqui entramos numa outra questão importante e super legal que quero discutir nesse post, emergência.

Emergência (no sentido de algo que emerge), são padrões que surgem devido ao modo como as componentes do sistema se comportam em conjunto. A pressão, por exemplo, é uma característica que se deve às colisões frequentes das partículas com superfícies no ambiente. Ironicamente, uma das principais críticas em relação ao reducionismo afirma que propriedades emergentes são um problema nesse contexto, uma vez que essas propriedades são características globais do sistema, e como "o total é mais do que a soma das partes", não observamos essas características olhando apenas as partes. Notem que essa crítica se baseia numa idéia ingênua de como usamos reducionismo na prática (que, como frequentemente acontece com muitos outros métodos, não tem nada a ver com o que é dito em muitos livros de filosofia da ciência).

reducionismo ingênuo

Reducionismo não significa (ou, no mínimo, não tem que significar) pegar a serra elétrica, cortar o sistema em pedacinhos e esquecer pra sempre como os pedacinhos se encaixavam originalmente. A sensação que eu tenho quando vejo diferentes críticas em relação ao reducionismo é que houve um efeito de telefone sem fio aí em algum momento (que é a sensação que eu tenho quando leio certos livros de filosofia da ciência, mas acho que já ficou clara a minha opinião sobre eles, né?! XD). Diferente do que a crítica sugere, usar reducionismo não implica em picar o sistema fria e cruelmente, e sim tentar descrevê-lo a partir das componentes mais básicas, levando em conta como essas componentes interagem, se necessário ou factível for...

Voltando ao caso da mecânica estatística, por exemplo, nessa área conseguimos ir muito mais longe do que na termodinâmica justamente por levarmos em conta as componentes básicas do sistema. Não apenas reproduzimos os resultados que a termodinâmica fornece, mas conseguimos descrever aspectos que a termodinâmica não é capaz.

Num próximo post pretendo falar um pouquinho sobre uma área do meu trabalho que envolve propriedades emergentes. Até algum dia a próxima! :)

Realidade Vs Representações

Neste post, resolvi falar sobre um assunto que acho muito interessante, que tem trocentas implicações em tudo que é área: representações/modelos.

O cérebro humano é uma máquina fantástica, cheia de
 mecanismos que nos permitem lidar com o mundo ao nosso redor. Um desses impressionantes mecanismos, é a capacidade de criar representações de tudo, consciente e  inconscientemente. Tudo o que vemos e sentimos são representações da realidade. Essas representações nos permitem fazer uma quantidade absurda de previsões, desde as mais "básicas" (que de básicas não tem nada), como pegar ou desviar de um objeto que venha em nossa direção, até previões de mais alto nível (mais conscientes), como os tipos de comportamentos esperados em diferentes situações sociais (sim, alguns aprendem melhor do que outros XD).

Todas essas representações formam uma espécie de modelo mental (ou modelo interno) da realidade, e é a partir desse modelo que a nossa mente faz suposições sobre o ambiente,  as quais vão sendo aperfeiçoadas com as experiências. Mas embora esse modelo seja extremamente útil, e obviamente tenha conexão com a realidade, ele não é A REALIDADE, mas sim uma cópia barata (literalmente, ou quase), que tende a ignorar detalhes, a não ser que eles sejam muito necessários (detalhes custam caro para o cérebro). Uma consequência interessante são as ilusões de óptica, que acontecem por causa do modelo simplificado da realidade que o nosso cérebro usa para interpretar imagens (na figura ali do lado os quadrados A e B têm na verdade a mesma cor!).

Um detalhe que acho bastante importante comentar aqui é que, embora esses modelos que criamos para entender o mundo ao nosso redor não sejam "A Realidade",  afirmar que tudo não passa de  uma criação da nossa mente, ou ainda desconectar completamente esses modelos da realidade em si, é beeem arriscado e provavelmente não prático. Afinal de contas, embora as cores, por exemplo, sejam uma forma do nosso cérebro interpretar certos fenômenos físicos, esses fenômenos existem de fato (ok, alguém poderia questionar que eu não tenho como ter certeza que eles existem de fato, pode ser tudo uma ilusão; essa é um discussão longa, mas basicamente  entramos na questão de quão prática é essa idéia - tudo o que eu posso dizer é que essa ilusão é realista e coerente o suficiente pra que seja super prático assumir que ela é a realidade).

Bom, voltando a modelos mentais, uma outra consequência um pouco mais subjetiva tem a ver com aqueles que construímos e modificamos com o tempo de maneira um pouco mais consciente (ou subconsciente). Esses modelos envolvem desde situações corriqueiras do dia a dia, passando por como entendemos as pessoas, até filosofias em geral e visões de mundo. Por exemplo, quando nos relacionamos com outras pessoas, tendemos a construir, automaticamente, modelos mentais (genéricos ou não) que descrevam os comportamentos dessas pessoas. Então, para entendê-las geralmente encaixamos seus comportamentos nesses modelos (que podem ir sendo aperfeiçoados com o tempo). Isso explica porque psicopatas frequentemente passam despercebidos: pessoas com empatia tendem a entender outras pessoas sob um filtro "empático" (eu tenho empatia, então meu coleguinha também tem). O problema é que usar um modelo mental envolvendo empatia para entender (ou, pior ainda, tratar) psicopatas é um tiro no pé (como fica óbvio em diversos documentários, incluindo esse).

Bom, voltando pro lado menos disburbing da questão, nossas visões de mundo também têm um papel bem importante na maneira como entendemos uma série de fatos: "eu acredito em Deus, e a beleza da flor é uma evidência da criação..." ou "eu não acredito em deus, e todo o mal no mundo é uma evidência da não existência de deus". A tendência aqui é encaixar fatos nos nossos modelos mentais da realidade. Chegamos aqui numa questão importante: existe algum jeito mais objetivo de construir/avaliar modelos? A resposta é sim, se chama ciência/método científico (sobre o método científico, já escrevi esse post e esse). Nesse caso, a idéia é construir explicitamente modelos formais (sobre métodos de formalização, fiz uma introdução aqui) de algum aspecto da realidade que queremos estudar. Como sempre bato na tecla, matematizar problemas (usar ferramentas matemáticas) nos permite observá-los de maneira muito mais objetiva e muitas vezes tirar conclusões não intuitivas. Os exemplos estão por toda a parte e muito provavelmente voltarei a falar sobre isso. Mas um fenômeno que acho interessante, e que me motivou a escrever esse post, é como as pessoas interpretam de maneira tão diferente esses trocentos exemplos que eu disse que estão por toda parte, principalmente pessoas com formações diferentes.

O fulaninho A passou a vida criando e aperfeiçoando um modelo mental da realidade (aquele mais subjetivo, que serve para entender como a realidade funciona). Depois de um certo tempo, as bases de seu modelo estão mais ou menos fixas, e ele geralmente não volta lá pra confrontar essas bases com novas informações, ele nem lembra que muitas delas estão lá, afinal elas são "A Realidade". Sim, existem métodos que permitem analisar as coisas de maneira mais objetiva, mas é importante saber usar as ferramentas corretamente e de vez enquado olhar mais a fundo as "verdades autoevidentes" que o cérebro assume...

The Code (O Código)

Depois de muiiiito tempo sem aparecer por aqui (6 anos, 1 mês, 11 dias e 3 horas, mais precisamente XD ), inspirada no blog de um amigo, resolvi ressuscitar o defunto (o blog, não o amigo :-p ) e ver no que dá. Alguns dos temas recorrentes neste blog, que "coincidentemente" são os meus preferidos, são questões associadas aos fundamentos de matemática e como o uso (explícito ou não) de alguns desses fundamentos pode influenciar diversos aspectos da sociedade, como a construção de definições, conceitos em ciência e o modo como encaramos uma série de situações. Então, seguindo um pouco essa linha, neste primeiro post da segunda fase do blog resolvi falar um pouco a respeito de um documentário sobre padrões matemáticos na natureza, produzido pela BBC.


O documentário se chama The Code (o código) e, apesar do nome, não tem nada a ver com numerologia (eu juro que eu achei que fosse, quando li o título na netflix, mas aquela pontinha de esperança de que não fosse me fez assistir anyway). É uma série com três episódios, cada um abordando um aspecto diferente da matemática e a sua conexão com o mundo que nos cerca. A idéia é criar uma espécie de caça ao tesouro, em que as pistas são os padrões que encontramos na natureza (tanto na física, quanto na biologia). Esses padrões nos dão um vislumbre de algo bem mais geral que parece estar por trás de tudo (literalmente), o tal código, que nada mais é do que a matemática.

O primeiro capítulo explora uma série de números "misteriosos" que teimam em aparecer na natureza, em diferentes contextos. Um dos exemplos que achei bastante interessante é o caso das cigarras periódicas. Diferente das demais, essas cigarras aparecem aos milhões na América do Norte por poucas semanas, fazendo uma algazarra, se reproduzindo e por fim morrendo. A próxima geração aparece apenas depois de 13 ou 17 anos (dependendo da espécie).  Um dos pontos importantes aqui, é que a sobrevivência dessas cigarras está fortemente relacionada ao tamanho absurdo da população, que emerge simultaneamente, minimizando as chances de que as cigarras sejam capturadas por predadores. Nesse sentido, seria desastroso que cigarras periódicas com ciclos de vida diferentes emergissem ao mesmo tempo e se reproduzissem. Isso porque os filhotes teriam ciclos de vida variados e não emergiriam simultaneamente. Notem que esses intervalos de tempo para o surgimento das cigarras, 13 e 17 anos, são números muito especiais, chamados de números primos. Os números primos são números inteiros (sem vírgula) que não podem ser divididos por nenhum outro número além de 1 e deles mesmos. Graças a essa característica, múltiplos de números primos (por exemplo 2*13, 3*13, 4*13,...,  e 2*17, 3*17, 4*17,...) coincidem muito menos frequentemente do que múltiplos de outros números, o que significa que estes ciclos de vida de 13 e 17 anos minimizam os encontros entre as espécies diferentes de cigarras.

Outro exemplo interessante são as diferentes situações em que aparece. Como muita gente sabe, esse número é associado a formas circulares ( pode ser obtido da divisão do perímetro de um círculo pelo seu diâmetro). No entanto, surge também em uma série de outras situações, aparentemente desconectadas (algumas à primeira vista, outras à segunda, e assim por diante XD ). No documentário, o exemplo é o caso da distribuição de pesos de peixes pescados por um pescador entrevistado. A partir da média de pesos dos peixes de um dia de pesca, e do número médio de peixes pescados por dia (e o total de anos), é possível calcular o peso aproximado do maior peixe já pescado ao longo dos anos de trabalho do pescador. Isso é possível por que o peso desses peixes, assim como uma séries de outras quantidades na natureza, segue uma distribuição normal, dada pela equação O ponto importante aqui é que é possível fazer esse tipo de predição porque esse sistema apresenta um padrão que é descrito por essa equação, e esse padrão envolve .

O último exemplo que vou citar deste capítulo são os números imaginários, carinhosamente apelidados de i (raiz quadrada de -1). Muita gente considera que números imaginários são um tanto quanto artificiais. Esse capítulo do documentário mostra um exemplo bastante prático de uma situação em que os números imaginários fazem toda a diferença: radares aéreos.

Os radares funcionam enviando pulsos de ondas de rádio e analisando a pequena fração do sinal que é refletida após encontrar o alvo. Esse tipo de análise envolve cálculos complexos, resultantes da interação entre ondas eletromagnéticas (cuja representação envolve números imaginários). O uso desse tipo de número torna os cálculos muito mais simples e rápidos (o que indica uma "preferência" da natureza que a experiência nos ensinou a levar em conta).

Depois de abordar um pouco sobre os números "mágicos" da natureza, no segundo capítulo o documentário entra na questão dos diferentes padrões que
 encontramos, envolvendo formas geométricas. Um exemplo é o caso das colméias, que são formadas por compartimentos em formato hexagonal (seis lados iguais).  A "escolha" desse formato tem a ver com a necessidade de armazenar a maior quantidade de mel usando a menor quantidade de cera possível: é basicamente um problema de otimização (pra quem já estudou cálculo diferencial).

O interessante é que vemos esses padrões de otimização (maximização ou minimização, dependendo do contexto) não apenas em biologia, mas por toda a física (na física, chamamos isso de princípio da ação mínima). Um dos exemplos que o documentário apresenta nesse sentido é o caso das bolhas de sabão, cujo formato redondo minimiza a tensão superficial (que significa que a força de coesão  entre as moléculas, necessária pra manter a estrutura da bolha, é a menor possível). Notem que se adicionarmos mais bolhas, umas sobre as outras, os formatos mudam, sempre seguindo esse princípio de minimização.

Todos esses padrões nos indicam que o universo tem uma série de regularidades que chamamos de leis, as quais nos permitem prever uma série de coisas. Mas não todas. Porquê? O terceiro capítulo do documentário entra justamente nessa questão. Existe uma série de sistemas que apresentam comportamentos caóticos. Isso significa que pequenas variações nas condições iniciais podem gerar resultados absurdamente diferentes. O exemplo clássico é o chamado efeito borboleta, que diz que o vôo de uma borboleta de um lado do mundo poderia acabar gerando uma tempestade no outro lado (notem que isso é uma analogia: uma pequena variação nas condições iniciais, que acaba levando o sistema a um estado completamente diferente).

 Um exemplo mais prático e bastante interessante, citado no documentário, é o caso  dos lemmings "suicidas" (sqn). A população desses roedores pode variar absurdamente de um ano para outro, e a explicação do porque disso tem a ver com a natureza caótica do sistema. É possível modelar o crescimento da população de lemmings (assim como o de uma série de outras espécies) através de uma equação bem simples, que leva em conta apenas o crescimento da população devido à nascimentos (r*P, onde r é a taxa de crescimento da populção e P é o tamanho dessa populção) e a morte por competição (r*P*P).

O interessante é que essa equação só é "bem comportada" para certos valores de r, enquanto para outros, o comportamento do sistema é caótico, podendo ir de um estado em que a população é gigante a uma situação de quase-extinção, dentro de um intervalo curto de tempo, que é justamente o que acontece com o lemmings.

Outro exemplo de sistema caótico é o clima. Por causa disso, as previsões do tempo são feitas a partir de modelos baseados na coleta de muiiito dados. O que se faz então é considerar um monte de possíveis pequenas variações nesses dados (já que eles não são completamente precisos) e então recalcular os resultados. Como o sistema é caótico, para intervalos de tempo curto (um dia, por exemplo), os resultados não diferem tanto e as previsões podem ser  razoáveis. Quanto maior o tempo, no entanto, maiores são os efeitos das variações das condições iniciais no resultados,  e fica cada vez mais difícil prever corretamente o que vai acontecer.


Mesmo nesses casos, os padrões estão lá, são apenas tipos diferentes de regras. Essas regularidades, segundo o documentário, fazem parte  do código (matemática), que está por trás de tudo o que vemos (e não vemos) na natureza: "Everything has mathematics at its heart. When everything is stripped away, all that remains is the code." (tradução livre: "tudo tem matemática na sua essência. Quando despimos a realidade, tudo o que resta é o código").

Como já dizia Galileu (no Saggiatore):

"A filosofia [Física] está escrita nesse grandioso livro que  está sempre aberto a nossa contemplação (refiro-me ao universo), mas que não pode ser entendido sem que primeiro se aprenda a língua e conheçam-se os caracteres com os quais está escrito. Ele está escrito em linguagem matemática, e seus caracteres são triângulos, círculos, e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente impossível entender sequer uma de suas palavras; sem estes fica-se a vagar por um escuro labirinto."

42 Parte II: Gödel

Dando continuidade à série de postagens (iniciada aqui) vamos agora analisar questões referentes ao teorema da incompletude de Gödel. A idéia é discutir alguns detalhes de seu trabalho nessa área, deixando de lado a contextualização histórica (sintam-se livres para perguntar ao grande oráculo =) ). Para maiores detalhes é aconselhável buscar literaturas a respeito, de preferência com o mínimo de filosofia possível e máximo de fórmulas (livros filosóficos sobre esse assunto são beeem comuns, há grandes chances de que eles não sejam um bom ponto de partida).

De maneira geral, o trabalho de Gödel consistiu em provar que existem sistemas formais indecidíveis: sistemas que contêm teoremas cuja afirmação ou negação não pode ser provada dentro desses sistemas. O desenvolvimento do teorema da incompletude foi grandemente baseado em conceitos provenientes do Principia Mathematica(PM, este livro é excencialmente um livro de filosofia matemática), de Russel e Whitehead, assim como nos axiomas da Aritimética, de Peano, escritos com base na lógica do PM.

Um ponto-chave para que possamos entender em que consistiu o trabalho de Gödel é a questão da notação empregada, sendo também algo bastante peculiar ( já ouvi dizer que Gödel tinha uma visão "ortogonal" à sociedade, isso fica bem claro quando nos deparamos com sua notação, às vezes quase invertida em relação ao que esperaríamos "logicamente" =p ).  Dentre os símbolos utilizados vemos os símbolos básicos (constantes e variáveis), as classes de símbolos básicos (fórmulas, por exemplo), as classes de classes de símbolos básicos (classes de fórmulas, por exemplo),..., e símbolos utilizados para descrever conceitos externos ao sistema.  Esses conceitos externos são chamados por Gödel (assim como por uma série de outros autores, e originalmente por Hilbert) de conceitos "metamatemáticos". Essa expressão me parece um tanto quanto infeliz por atribuir à matemático um sentido tremendamente restrito (no contexto do trabalho de Gödel essa expressão sugeriria que a matemática refere-se apenas à aritimética). Sendo assim, utilizarei simplesmente a expressão "conceitos externos". Entre os símbolos básicos constantes podemos encontrar os seguintes: "~" (negação, embora às vezes seja utilizado para indicar equivalência), "f" (sucessor imediato), "V" (ou). Quanto às variáveis, há uma infinidade (literalmente) de tipos. As variáveis do primeiro tipo são elementares (representam números naturais), as variáveis do segundo tipo são classes de variáveis elementares, e assim sucessivamente. Entre os símbolos utilizados para representar conceitos externos encontramos o conceito de prova (símbolo "B"), o qual é utilizado da seguinte maneira:

xBy

isso é, x é uma prova (seqüência de passos necessários, a partir dos axiomas, à obtenção) da fórmula y. Nessa mesma linha encontramos:

Bew(y)

ou seja, y é uma fórmula provável (y pode ser provada), isso é equivalente a dizer que existe um x tal que x é uma prova de y:

Bew(y)=(Ex)xBy

conforme a notação de Gödel. Outro conceito fundamental é o de generalização, simbolizado por  "Gen" e utilizado da seguinte maneira:

v Gen a 

isso é, a classe de símbolos a é genérica em relação à sua variável livre v.  Intimamente relacionado a este último conceito encontramos o conceito de substituição, simbolizado por Sb (ou Subst, ou ainda Su, com algumas variações na notação), o qual será visto mais à frente. 

Outro ponto importante, um dos pontos centrais no  desenvolvimento do teorema de Gödel, diz respeito a um mapeamento entre os símbolos utilizados e os números naturais, ou seja, cada símbolo ou conjunto de símbolos poderia ser representado por um número natural, de acordo com determinadas regras.

Feitas essas considerações, vamos agora analisar sequencialmente o desenvolvimento do teorema de Gödel.  Os axiomas da Aritimética (de Peano) foram tomados como ponto de partida. A fim de utiliza-los de maneira eficiente para os  dados propósitos, Gödel os escreveu de acordo com conceitos provenientes do PM, dentre outras fontes. Propôs então um mapeamento entre a simbologia utilizada e os números naturais. Em seguinda definiu o conceito de recursividade (eis um exemplo de recursividade). Lançou então quatro proposições referentes a este conceito (cujas provas foram apresentadas ou indicadas). A partir dos conceitos de recursividade e dos axiomas em si, Gödel gerou uma série de definições, contidas em 46 fórmulas. Nessa série de fórmulas pode-se ver o uso do conceito de "herança", ou seja, uma dada fórmula pode aproveitar definições de fórmulas anteriores. O próximo passo consistiu em lançar uma quinta proposição, referente a relações recursivas. Como exemplo de relação recursiva (conforme a definição de Gödel) podemos citar a relação "sucessor imediato", dada por f: 

2= f1= ff0

 Gödel então definitiu o que ele chamou de "sistema w-consistente". Segundo essa definição, um sistema w-consistente é um sistema que não possui uma classe a para a qual a seguinte proposição é válida:

Na expressão acima o símbolo Flg(k) representa o menor conjunto de fórmulas que contém todos os axiomas e todas as fórmulas de k e é fechado no que diz respeito à relação "conseqüência imediata de" (k é uma classe de fórmulas). O símbolo Sb representa o conceito externo substituição (conforme mencionado anteriormente), essa fórmula indica a substituição da variável v, em a, pela variável de mesmo tipo z(n) (símbolo correspondente ao número natural n, de acordo com o mapeamento de Gödel). A expressão acima diz que existe um n tal que a fórmula resultante da substituição de v por z(n), em a, está contida em Flg(k), e a negação da generalização de a em relação a v também está contida em Flg(k).

Gödel, adimitindo a consistência do sistema, propôs então que para toda a classe de fórmulas k, recursiva e w-consistente, sempre haverá uma classe r (classe de símbolos, fórmula), tal que nem a fórmula "v Gen r", tampouco a fórmula "Neg(v Gen r)" (Neg indica negação) pertencem a Flg(k) (ou seja, essas fórmulas não podem ser provadas dentro do sistema k).Dentre outras proposições (referentes a aplicação dos seus resultados à aritimética), Gödel provou ainda que, para uma dada classe de fórmulas k, recursiva e consistente, a proposição que estabelece a sua consistência/inconsistência pode  ser indecidível (o que não se aplica a todos os possíveis k's).


Há quem conclua que estes resultados indicam a incompletude da matemática. O que vemos porém é o seguinte, Gödel desenvolveu uma estrutura finita para lidar com um número infinito de elementos (um número finito de axiomas, os quais se referem aos números naturais e às possíveis operações entre eles). Nesse caso, um número infinito de proposições podem ser provadas formalmente. No entanto, sempre restam proposições não contidas no sistema. Esse resultado sugere que estamos tentando representar algo infinito (a aritimética) através de uma estrutura finita: por mais que adicionemos axiomas ao nosso sistema sempre haverá proposições indecidíveis, pois essa estrutura finita não é capaz de conter todas as informações referentes ao que ela pretende representar. Sendo assim, parece mais sensato supor que a aritimética, e conseqüentemente a matemática, não é algo finito, muito menos uma mera construção da mente humana.

 Mas será que podemos aplicar os resultados de Gödel à física? ou seja, seria impossível desenvolvermos uma "Teoria do Tudo" ? Isso depende. Se o universo for infinito (estrutura não necessariamente quantizada), os resultados de Gödel poderiam ser aplicáveis, desde que se conseguisse um mapeamento adequado. Se o universo for finito, no entanto, os resultados não podem ser aplicados, pois a estrutura de Gödel trata de um número infinito de elementos, o que impossibilita o mapeamento. 

Conclusão: se o universo for finito de fato, é possível que um dia encontremos a tal Teoria do Tudo, e quem sabe possamos então descobrir qual é a pergunta formal cuja resposta é 42... =p

ps: o título do paper de Gödel é "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". Existe uma série de livros os quais são traduções desse paper (não completas, em geral), com comentários adionais. Um deles é o "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems", publicado pela Dover Publications.

42 Parte I: métodos

Em aguns dos posts anteriores mencionei problemas que podem surgir devido ao uso de certas definições comuns. No último post o Rafael fez algumas sugestões referentes à continuação do assunto (desconsiderem os primeiros quatro comentários que aparecem lá =p ). Gostei das sugestões e resolvi escrever sobre esses assuntos. Porém decidi reservar mais de um post para isso ( pelo menos dois ), pois há muitas questões envolvidas ( algo como "a vida o universo e tudo mais"  =p ), de maneira que abordar o assunto em um mesmo post, mesmo que de maneira superficial, poderia ser um tanto quanto inviável (especialmente quando a blogueira é um tanto quanto prolixa). Neste primeiro post pretendo abordar questões referentes aos fundamentos do problema: uma espécie de contextualização. Um dos objetivos dos posts é discutir questões referentes ao teorema da incompletude de Gödel, o que não vai ser feito nesse primeiro post.

Comecemos analisando o cerne da questão das definições: a metodologia que usamos para construí-las.  A descoberta de uma metodologia assustadoramente eficiente, capaz de permitir, dentre outras coisas, a construção de definições e análise das conseqüências dessas definições, constitui um dos pilares dos maiores avanços (registrados) da humanidade em  termos de conhecimentos e aplicações. Essa metodologia nos permite construir o que chamamos linguagens formais, ou linguagens matemáticas (não confundir "linguagem matemática" com "matemática"). A base da metodologia consiste  em separar um conjunto de símbolos (às vezes chamados signos) cujo significado deve ser totalmente estabelecido (ou seja, com ambigüidade controlada), não possuindo qualquer significado além do que lhes é explicitamente atribuído. Constroem-se então regras que estabelecem de que maneira podemos manipular e combinar os signos (regras de formação e transformação). Essas regras, em princípio, podem ser totalmente arbitrárias. O resultado desse tipo de abordagem é que muito provavelmente o nosso sistema será inconsistente, isto é, permitirá a existência de contradições internas. Esse tipo de fenômeno impõe limites no modo como construímos o nosso sistema. Mas e por que descartar sistemas construídos de maneira inconsistente? Voltemos à questão dos paradoxos, mencionados no post anterior. Um paradoxo pode ser representado por uma fórmula inconsistente, cuja negação implica em sua afirmação e cuja afirmação implica em sua negação (no post anterior o tipo de paradoxo mencionado era um pouco diferente). Temos aqui uma indeterminação lógica, ou seja, obtemos um resultado "vazio": não podemos tirar conclusões sobre a validade dessa proposição.

A partir dos símbolos e das regras de formação construímos as fórmulas, chamadas axiomas, que constituirão nosso sistema. Esses axiomas não devem poder ser obtidos uns dos outros, caso contrário poderíamos eliminar os axiomas excedentes (navalha de Occam). Podemos então, através dos métodos de transformação e a partir dos axiomas, derivar outras fórmulas, chamadas teoremas. Os teoremas também podem ser obtidos através das regras de formação, assim como fizemos com os axiomas. Nesse caso é necessário demonstrar que esses teoremas decorrem dos axiomas. Se pudermos provar que existe algum teorema, obtido através das regras de formação, que não decorre dos axiomas, porém é uma verdade dentro do sistema (não gera problemas de consistência), teremos provado que esse sistema é incompleto. Há ainda a questão da consistência: se pudermos provar que dois teoremas contraditórios decorrem dos axiomas, teremos provado que nosso sistema é inconsistente.

Voltemos à questão das definições. Existe um sistema, construído através do uso de metodologias análogas àquelas que descrevi, chamado Teoria dos Conjuntos. Nesse sistema existe uma entidade chamada classe. Mais específicamente, existe um tipo especial de classe, chamado classe de equivalência. Fazer uma definição, por definição, significa separar elementos em classes de equivalência: quando fazemos uma definição na realidade estamos separando objetos em grupos diferentes de acordo com determinadas propriedades satisfeitas ou não pelos objetos (dito em linguagem totalmente informal).  Formalmente, uma classe de equivalência é uma classe cujos elementos pertencem a um subconjunto R, chamado relação de equivalência:

ou seja, a relação de equivalência R está contida no conjunto formado pelo produto cartesiano entre um dado conjunto A e ele mesmo (caso particular do produto cartesiano). Além disso uma relação de equivalência deve possuir as três seguintes propriedades (sendo a,b e c elementos do conjunto A):

1. Reflexividade: o par ordenado (a,a) pertence a R.
2. Simetria: se o par ordenado (a,b) pertence a R, então o par ordenado (b,a) também pertence.
3. Transitividade: se o par ordenado (a,b) pertence a R e o par ordenado (b,c) pertence à R então o par ordenado (a,c) também pertence à R.

Toda relação de equivalência possui um ou mais subconjuntos, chamados classes de equivalência, os quais contém ao menos um elemento de R (cada  elemento de R pertence a uma única classe).

Podemos agora analisar mais um aspecto da diferença entre linguagens formais e não-formais. As definições que fazemos freqüêntemente possuem problemas: geram contradições, ambigüidades não controladas, etc.. Existem, inclusive, definições não-formais dentro de áreas sérias de pesquisa que apresentam problemas quando analisadas formalmente (usando classes de equivalência). Um exemplo é a definição biológica de espécie (o problema ocorre na terceira propriedade das relações de equivalência: espécies em anel não obedecem essa propriedade). Por esses e por outros motivos, devido à maneira como linguagens não-formais são construídas, devemos ser muito cuidadosos ao obter informações em linguagem não formal (as do meu blog, por exemplo =) ). Eis a desvantagem da filosofia da ciência frente à ciência: erros filosóficos são extremamente comuns e altamente fáceis de cometer. Além disso a verificação desses erros pode não ser viável se utilizarmos apenas linguagens informais (o que não significa que se usarmos linguagens formais resolveremos todas as possíveis questões filosóficas, principalmente se houver uma quantidade infinita delas, também não significa que informações em linguagem não-formal devam ser descartadas). A questão se resume ao fato de que há métodos que se mostram tremendamente mais eficientes do que outros em uma quantidade absurda de situações: eis o que faz da ciência algo tão assustadoramente útil e belo.